20/07/2024

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Exercices résolus sur les nombres complexes sous la forme exponentielle 

Forme trigonométrique des nombres complexes : à partir de x et y , on peut trouver le module et l’argument de z=x+iy . Si maintenant, nous connaissons le module r et l’argument θ d’un nombre complexe z , alors on peut retrouver sa forme habituelle z=x+iy.

En effet, on démontre que
x=|z|⋅cos(argz)=rcosθ et y=|z|⋅sin(argz)=rsinθ.
On dit qu’un nombre complexe z est sous sa forme trigonométrique lorsqu’on l’écrit z=rcosθ+i⋅rsinθ=r(cosθ+isinθ).
Par exemple, le nombre complexe z=√3 −i s’écrit sous forme trigonométrique comme z=2(cos(−π/6)+isin(−π/6)).

Forme exponentielle
Propriété de l’argument
La forme trigonométrique des nombres complexes peut sembler peu pratique. En effet, si z=r(cosθ+isinθ)
et z′=r′(cosθ′+isinθ′)

En fait, la forme trigonométrique se révèle très pratique lorsqu’on désire multiplier des nombres complexes. Si on a z=r(cosθ+isinθ)
et z′=r′(cosθ′+isinθ′)

Son module est rr′
et son argument θ+θ′
, ce qui signifie que le module d’un produit est égal au produit des modules et que l’argument d’un produit est égal à la somme des arguments :
arg(z⋅z′)=argz+argz′.
Forme exponentielle des nombres complexes
le produit de deux exponentielles est égal à l’exponentielle de la somme des argument. C’est pour cette raison que l’on introduit la notation suivante : e=cosθ+isinθ.

Exercices résolus sur les nombres complexes sous la forme exponentielle