La transformation en Z ( ou la transformée en z ) est un outil mathématique de l’automatique et du traitement du signal, qui est l’équivalent discret de la transformation de Laplace.
Définition : Soit (un) une suite. On appelle transformée en Z de cette suite la fonction d’une variable complexe définie par :
Souvent, on n’étudie la transformée en Z que pour des suites causales, c’est-à-dire des suites telles que un=0 pour n<0. La définition devient alors
et le domaine de convergence est l’extérieur d’un disque.
Définition et domaines de convergence
Voici une table des transformées en Z usuelles. On ne considère que des suites causales.
Propriétés de la transformée en z
La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :
Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :
Théorème : Soit (x(n)) une suite causale et F sa transformée en Z. Alors :
Lorsque la limite existe,
Exercice :
Correction :
More Stories
Exercices : Transformée en Z inverse, méthode des résidus
Exercices : Transformée de Laplace inverse et équation différentielle
Exercices : les nombres complexes, corrigés